:: wikimiki.org ::

To



Kardinaltal	2 to
Ordinaltal	anden
Talsystem	binært
Faktorer	primtal
Divisorer	1,2
Romertal	II
præfikser	di- (fra græsk) duo- (fra latin) tve- (fra gl. nordisk)
Binær værdi	10
Oktal værdi	2
Duodecimal værdi	2
Hexadecimal værdi	2

2 (to) er:
- Det naturlige tal efter 1, derefter følger 3.
- Et heltal.
- Det mindste primtal (og naturligvis det eneste lige primtal).
- Det tredje af fibonaccis tal
- Grundtallet i det binære talsystem. Det danske ord "to" deler etymologi med de andre indoeuropæiske sprogs ord for det samme og lader ikke til at have nogen bagvedliggende betydning. Angående den gamle bøjning af navneord i total (dualis): se under 3. Der er:
- 2 hjul på en cykel.
- 2 i en duo.
- 2 i et par
- Det gamle ord "tvende"

I Matematik

Andet

- Svend Tveskæg Kategori:Artikler om bestemte tal ja:2 simple:Two tokipona:nanpa tu

Kardinaltal

Betegner populært sagt antallet af elementer i en mængde, også i forbindelse med overtællelige mængder. Kardinaltal er indført af Georg Cantor omkring 1900 i forbindelse med udviklingen af den moderne mængdelære. Et tal,

\aleph_n

er et kardinaltal, hvis der ikke findes en bijektiv afbilning fra nogen ægte delmængde af mængden på intervallet fra 0 til

\aleph_n

. Ethvert tal som er element i en tællelig mængde er et kardinaltal, ligesom uendelig (forstået som grænseværdien for følgen

(i)_^

), der betegnes

\aleph_0

, er et kardinaltal.

\aleph_0

er det første uendeligt store kardinaltal, de følgende benævnes

\aleph_1, \aleph_2, \ldots, \aleph_\omega, \ldots

. Cantor viste at der ikke findes et største kardinaltal ligesom der er væsentligt flere kardinaltal større end

\aleph_0

end mindre end. Cantor opstillede hypotesen at kardinaltallet til mængden af reelle tal

\mathbb=\mathcal(\mathbb)

følger lige efter det til de naturlige tal dvs at dennes kardinalitet skulle benævnes

\aleph_1

. Hypotesen er kendt som kontinuumhypotesen og er endnu uafgjort. Kardinaltallene er velordnede.

Se også

- Kardinal - for andre betydninger.
- Ordinaltal ja:基数

Talsystem

Et talsystem eller et talnotationssystem er et system til at repræsentere matematiske tal med. Et ciffer er et taltegn. F.eks. består ciffernavnet "34" af to cifre "3" og "4". Det samme kan skrives med andre taltegn: "XXXIV", som består af ciffernavnene "X" (10), "I" (1) og "V" (5). Bemærk at et ciffernavn kun er en repræsentation for det matematiske tal.

Eksempler på positionelle talnotationssystemer

At et talsystem er positionellet, betyder at tallenes værdi; hvis der er flere cifre så er ganget med talsystemets grundtal. 12345 betyder i 10 talsystenet altså 1x10000 + 2x1000 + 3x100 + 4x10 + 5x1 og ikke 1+2+3+4+5. Det i princippet muligt at bruge ligeså store grundtal, som det er muligt at man kan lære sig rækkefølgen på talsymbolerne.

grundtal 10

- Arabiske talsystem også kendt som titalssystemet eller decimalsystemet. Anvendes i det meste af verden. [http://www.sf.airnet.ne.jp/~ts/language/number/german.html Tyske, engelske, finske, manderinsk, slavisk og latinske talord er decimale]. Det danske talord [http://www.dsn.dk/oss_faq.htm fyrretyve er afledt af det gammeldanske fyritiughu, som betyder '4 tiere' ifølge Dansk sprognævn].

grundtal 2

- Binære talsystem (Anvendes ved design af integrerede kredsløb til mikroprocessorer og andet indenfor digital elektronik).

grundtal 6

- Sexagesimal - Se også Babyloniske tal og cifre.

grundtal 8

- Oktale talsystem (Anvendtes tidligere og måske stadigvæk ved computerprogrammering som kortform for det binære talsystem).

grundtal 16

- Hexadecimale talsystem (Anvendes ved computerprogrammering som kortform for det binære talsystem).

grundtal 20

- Vigesimal-system eller Tyvetalssystemet. (Blev anvendt hos mayaerne og aztekerne - sikkert også i deres formodede abacus: nepohualtzintzin). Bemærk at en del af de [http://www.sf.airnet.ne.jp/~ts/language/number/danish.html ældre danske] (og baskiske, keltiske og franske) talord bærer præg af at være et vigesimal-system]. F.eks. halvtredsindstyve, tresindstyve, halvfjerdsindstyve, firsindstyve og halvfemsindstyve (halvfem=4,5 , [http://www.dsn.dk/oss_faq.htm sinde] betyder gange og 4,5
- 20=90). Mayanske talord: [http://www.sf.airnet.ne.jp/~ts/language/number/tzotzil.html Tzotzil]. Aztekiske talord: [http://www.sf.airnet.ne.jp/~ts/language/number/nahuatl.html Nahuatl].

Ikke-positionelle talnotationssystemer

- Romertallene er ikke-positionelle; eksempelvis betyder "V" 5 uanset placering.

Eksterne henvisninger

- [http://www.cstc.org/data/resources/60/convexp.html CSTC, Computer Science Teaching Center: Conversion Between Different Number Systems]
- [http://www.cstc.org/data/resources/60/convtop.html Number System Conversion Tool]
- [http://www.gorps.dk/artikler/talord.asp Den Røde Pen: De danske talord]
- [http://runeberg.org/anf/1893/0154.html Arkiv för nordisk filologi / Ny följd. Femte bandet. 1893: Lidt om tiughu] Kategori:Matematik Kategori:Datalogi Kategori:Tal ja:位取り記数法 ko:기수법

Faktor (matematik)

En faktor er i matematikken et af de tal, der indgår i en multiplikation. Ofte menes der med faktor en primtalsfaktor. Alle positive heltal kan faktoriseres i primtal, dvs. udtrykkes som et produkt af primtal (det enkelte primtal kan indgå flere gange). Faktor er også et andet ord for divisor.

Primtal

Et primtal er et positivt heltal større end 1, som er deleligt alene med 1 og tallet selv, kaldet de trivielle divisorer. Ethvert positivt heltal kan skrives som et produkt af primtal på entydig vis (når der ses bort fra rækkefølgen af primtallene). En sådan opskrivning kaldes tallets primfaktoropløsning og de indgående primtal kaldes tallets primfaktorer. F.eks. er 60 = 2² × 3 × 5. Det faktum at ethvert positivt helt tal entydigt kan skrives som et produkt af primfaktorer kaldes aritmetikkens fundamentalsætning. Bemærk at 1 ikke er et primtal i definitionen ovenfor, da vi jo netop krævede at et primtal er større end 1. Man kunne godt have defineret 1 til at være et primtal, men det gør den videre udvikling af teorien mere besværlig, idet mange sætninger kun gælder for primtal større end eller lig 2. Det gælder for eksempel for den tidligere oplyste entydighed af primfaktoropløsninger. Hvis 1 var defineret til at være et primtal, ville fx 60 kunne skrives som et produkt af primtal på uendelig mange måder. Derfor er det naturligt, at definere 1 til ikke at være et primtal. Primtal studeres indenfor talteori og danner basis for mange krypteringsalgoritmer. Her et udpluk af de første primtal:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541.

Hvor mange primtal

Euklid beviste ca. 300 f.kr. at der findes uendeligt mange primtal. Beviset er et modstridsbevis, idet man antager at man kender alle primtal. Ganger man alle disse tal sammen og lægger en til, får man et tal, der enten er et ikke-kendt primtal eller som har en ikke kendt primfaktor (idet ingen af dem man kender jo kan gå op). Flere matematikere har lavet andre beviser for at der er uendelig mange primtal, specielt har Euler vist at summen af primtallenes reciprokke værdier ikke konvergerer, men går mod uendelig.

Største kendte primtal

Med fremkomsten af computere er der sket en kraftig udvikling i det største kendte primtal. Det største kendte primtal har næsten altid været af formen 2ⁿ-1, som kaldes mersennetal (bemærk at ikke alle tal på denne form er primtal!). I maj 2004 er det største kendte primtal 2^24.036.583-1, det blev fundet den 15. maj 2004 af GIMPS, som er en internetgruppe, der benytter overskydende computertid til at finde mersenneprimtal. 2^24.036.583-1 har 7.235.733 cifre. Den 26. februar 2005 blev det bekræftet at det største kendte mersenneprimtal er 2^25.964.951-1

Forskellige slags primtal

Der findes mange specielle former for primtal, f.eks.:
- Primtalstvillinger, det vil sige to primtal der ligge så tæt på hinanden som muligt (bortset fra eksemplet med 2 og 3 vil det sige at der er adskilt af to, f.eks. 5 og 7 eller 17 og 19).
- Mersenneprimtal, primtal på formen 2ⁿ-1.
- Fermatprimtal, primtal på formen 2ⁿ+1.

Ubesvarede spørgsmål

- Det vides ikke, om der findes uendelig mange primtalstvillinger.
- Goldbachs formodning siger, at ethvert lige heltal større end 3 kan skrives som summen af to primtal. Man har afprøvet denne formodning for meget store tal og har endnu ikke fundet noget modeksempel. Det vides imidlertid ikke om formodningen er sand.

Andre egenskaber

- Ethvert primtal større end 3 har en "nabo" i 6-tabellen (fx er 5 nabo til 6, 11 er nabo til 12 o.s.v.). Dette kan man let vise ved at kigge på den rest et primtal må have ved division med 6. Det er let at se at resten altid må være 1 eller 5, idet 0 og 6 udelukkes af at 6 ellers ville gå op, 2 og 4 udelukkes af at 2 ellers ville gå op, mens 3 udelukkes af at 3 ville gå op, hvilket strider mod at tallet er et primtal større end 3.

Eksterne henvisninger

- [http://www.246.dk/primtal.html 246.dk: Primtal]
- En grundig gennemgang på engelsk af primtal http://www.utm.edu/research/primes ja:素数 ko:소수 (수론) th:จำนวนเฉพาะ

Divisor

En divisor er i aritmetikken et heltal, som ved division (deling) går op i et andet tal (dividenden) uden at give rest. Resultatet af divisionen kaldes en kvotient. Divisorer kan være positive eller negative. En divisor kaldes også en faktor. I divisionen 12:3=4 er 3 divisor, mens 12 er dividend og 4 er kvotienten. Det udtrykkes også ved, at 12 er delelig med 3, eller at 12 er et multiplum af 3. Specielle tilfælde: tallene 1 og -1 er divisorer i alle tal, og ethvert heltal er divisor i tallet 0. Tal, der har 2 som divisor kaldes lige tal og de øvrige tal kaldes ulige tal. Et tals divisorer er alle de tal, som går op i tallet. Divisorer i tallet 12 er derfor: 1, 2, 3, 4, 6 og 12. Hvis man udelader tallet 1 fra listen over et tals divisorer, fordi det jo går op i alle tal uden rest, får man tallets ægte divisorer. I andre tilfælde udelader man tallet selv fra listen over et tals divisorer. Største fælles divisor er den største divisor, som to eller flere heltal har til fælles. Tallet er nyttigt, når man skal reducere en uægte brøk. En berømt algoritme til at bestemme denne er fundet af den græske matematiker Euklid (ca. 325 f.kr-ca. 270 f.kr). Mindste fælles mangefold er det mindste heltal (mindste dividend), som et eller flere heltal (divisorer) går op i. Tallet er nyttigt, når flere tal eller brøker skal samles på en fælles brøkstreg.

Regler for små divisorer

Det kan være af betydning hurtigt at kunne bestemme, om et bestemt tal er deleligt med et andet. For små tal gælder følgende regler
- et tal er deleligt med 2, hvis tallets sidste ciffer kan deles med 2
- et tal er deleligt med 3, hvis summen af tallets cifre (tværsummen) kan deles med 3
- et tal er deleligt med 4, hvis tallets to sidste cifre kan deles med 4
- et tal er deleligt med 5, hvis tallets sidste ciffer er 0 eller 5
- et tal er deleligt med 6, hvis tallet er deleligt med både 2 og 3
- et tal er deleligt med 7, hvis 7 går op i det tal, som fremkommer ved at tage tallet uden det sidste ciffer og derfra trække det dobbelte af sidste ciffer. (Eksempelvis er 364 deleligt med 7, fordi 36-2x4=28 kan deles med 7)
- et tal er deleligt med 8, hvis tallets sidste tre cifre kan deles med 8
- et tal er deleligt med 9, hvis tallets summen af tallets cifre (tværsummen) kan deles med 9
- et tal er deleligt med 10, hvis tallets sidste ciffer er 0
- et tal er deleligt med 11, hvis summen af dets cifre med skiftevis positivt og negativt fortegn kan deles med 11. (Eks. 182919 er deleligt med 11 fordi 1-8+2-9+1-9 = -22 er deleligt med 11)
- et tal er deleligt med 12, hvis tallet er deleligt med både 3 og 4
- et tal er deleligt med 13, hvis 13 går op i det tal, som fremkommer ved at tage tallet uden det sidste ciffer og derfra trække det ni-dobbelte af sidste ciffer. (Eksempel: 858 er deleligt med 13 fordi 85-9×8 = 13 er deleligt med 13)
- et tal er deleligt med 14, hvis tallet er deleligt med både 2 og 7
- et tal er deleligt med 15, hvis tallet er deleligt med både 3 og 5

Se også

- fuldkomne tal
- venskabstal Kategori: Aritmetik ja:約数 ko:약수

Præfiks

Et præfiks er en eller flere stavelser, der sættes foran et ord og ændrer dettes betydning. For eksempel kan man være proisraelsk (af pro og israelsk). Et præfiks kan også være et udtryk som kan sættes foran en fysisk/videnskabelig enhedsbetegnelse, når dette er praktisk/bekvemt. De har til formål at man kan angive (meget) store eller små størrelser af en bestemt enhed, med forholdsvis få tal og bogstaver. F.eks. kan datamængden 2³² bit = 4.294.967.296 bit istedet angives som 4 Gibibit, eller 512 Mebibyte. Det kan yderligere forkortes til 4 Gib eller 512 MiB.

Se også

- Suffiks
- SI-præfiks
- Navne på store tal

Eksterne henvisninger

- [http://physics.nist.gov/cuu/Units/prefixes.html SI-prefixes]
- [http://members.optus.net/alexey/prefBin.xhtml IEC-prefixes] Kategori:Sprog Kategori:Præfiks

Græsk (sprog)

:Denne artikel handler om sproget. Se græsk (flertydig) for andre betydninger. ---- Græsk er sproget som stammer fra Grækenland.

Oldgræsk og nygræsk

Det græsk, som blev brugt i antikken, kaldes oldgræsk. På grund af oldgræsks store betydning er det dog almindeligt, at man slet og ret kalder det græsk, hvorimod det moderne sprog normalt må præciseres nygræsk.

Forskellen mellem oldgræsk og nygræsk er så betydelig, at man ikke uden videre kan forstå det ene, fordi man har lært det andet. Retstavningen har ikke ændret sig så meget, men udtalen er vidt forskellig. Mange af ordene er stadig de samme, selv om der har været en vis udskiftning. Grammatikken er noget anderledes. Det utal af bøjningsformer, der kendetegner oldgræsk, er blevet indskrænket kraftigt i nygræsk (futurum, optativ og infinitiv er forsvundet som selvstændige bøjninger; dativen er ligeledes forsvundet).

Folkenavnet

Grækenland, græsk og grækere er det almindelige navn for landet, sproget og folket i Europa og stammer fra latin (Graecia, Graecus). Grækerne kaldte sig derimod i oldtiden hellenere (Ἕλληνες) og landet for Hellas (Ἑλλάς). Dette navn blev genoptaget, da den moderne græske stat blev dannet i det 19. århundrede.
I mellemtiden havde de kaldt sig romæere (Ρωμαῖοι ell. Ρωμιοί), egtl. "romere", fordi de var efterkommere af det Østromerske (Byzantinske) Riges græsktalende befolkning.
Homer bruger ikke hellenernavnet, men kalder grækerne for achaier, argeier eller danaer.

Slægtskab og forhistorie

Græsk er et indoeuropæisk sprog ligesom dansk, tysk, engelsk, fransk, russisk osv. Inden for den indoeuropæiske sprogfamilie synes græsk at være tættest beslægtet med de indoariske sprog (f.eks. sanskrit, hindi, urdu), iranske sprog (f.eks. avestisk, persisk, kurdisk) og armensk. Disse sproggrupper er derfor sandsynligvis efterkommere af indoeuropæiske dialekter, der blev talt i nærheden af hinanden i det (hypotetiske) indoeuropæiske urhjem. Hvornår urformen af græsk kom til Grækenland er omstridt. De, der mener, det indoeuropæiske urhjem befandt sig i Lilleasien, vil være tilbøjelig til at hævde, at sproget kom til Grækenland direkte derfra sammen med de første agerdyrkere. De, der placerer urhjemmet på stepperne nord for Sortehavet og Det kaspiske Hav, forestiller sig derimod i reglen en senere dato, omkr. 3300 f.Kr., omkr. 2000 f.Kr. eller omkr. 1650 f.Kr.. alt efter om man sætter de første grækere i forbindelse med kurgánbegravelser (russ. курган "gravhøj"), med en særlig keramiktype eller med indførelsen af den hestetrukne stridsvogn.

Inddeling

Forskellige perioder havde forskellige former for græsk:

Udtale
Oldgræsk og nygræsk skrives med det samme alfabet, og den klassiske ortografi er stort set bevaret indtil i dag, men udtalen er vidt forskellig. Sprogvidenskaben har dannet sig et ganske godt billede af, hvordan klassisk attisk græsk har været udtalt. I den nedenstående tabel er de to udtaler sammenstillet: Kategori:Indoeuropæiske sprog als:Griechische Sprache ja:ギリシア語 ko:그리스어 ms:Bahasa Greek simple:Greek language th:ภาษากรีก

Binær
Dobbelt, tvilling-. Det binære talsystem består kun af to tal: 1 og 0. Det anvendes ved fx lagring af data på medier som hulkort/-strimmel, Magnetbånd, fx DAT, Magnetstribe fx på id-kort, kreditkort etc., cd, DVD og Harddisk. Det bruges også til lagring af maskinkode, normalt i ram og på harddisk. Det binære talsystem er dog ikke opfundet til brug for computersystemer, men er opfundet længe før år 0, angiveligvis af Pingala i "Chhandah-shastra" (ml. femte og andet århundrede før kristus).
Det binære talsystems logik
Binære tal læses fra højre mod venstre. Det første tal, altså længst mod højre, repræsenterer tallet 1. Det næste repræsenterer 2. Herefter 4. Så 8. Tallet til venstre for det forrige er hele tiden af dobbelt værdi. Man kan angive 0 eller 1 ved hver position, således at tallet "10" er tallet 2 i titals-systemet. "110" er således 6, fordi den yderste venstre position angiver 4, den næste 2. I computersammenhænge kalder man et 1-tal for on (tændt) og 0 for off (slukket). Tallets værdi er summen af de tændte positioner. En sådan størrelse, den ene position som kun har to mulige tilstande, kaldes en bit. Dette er den mindste enhed der findes i computerens hukommelse. En lidt større enhed, som man oftere opererer med, kaldes en byte. En byte består af 8 bits. En byte kan beskrive et tal mellem 127 og -128. 8 bits kan sammen beskrive 256 forskellige tilstandsformer eller tal. I computeren har man valgt at bruge den første bit til at beskrive om tallet er positivt eller negativt. 0 er positiv, og 1 er negativ. Man kan måske undre sig over, at tallet går højere på den positive side, end på den negative. Men det er fordi tallet 0 stjæler en position på den positive side.
Kilder/henvisninger

- Lexopen Kategori:Datalogi Kategori:Matematik

Hexadecimal
Det hexadecimale talsystem er baseret på basen (base er også kendt som grundtal eller radix) 16, hvor vi normalt regner i 10-talsystemet. Radixet eller grundtallet angives ved at skrive det nedenfor tallet. De ekstra cifre udgøres af bogstaverne A-F, således at A₁₆=10₁₀, B₁₆=11₁₀, C₁₆=12₁₀, D₁₆=13₁₀, E₁₆=14₁₀, F₁₆=15₁₀. Som i alle positionstalsystemer er pladsen længst til højre 'enerne'. Den næste plads (som vi normalt kender som 10'erne) er så 'sekstenerne'. Eksempler:
- 0A₁₆= 10₁₀
- 10₁₆= 16₁₀
- 22₁₆= 34₁₀
- FF₁₆= 255₁₀ Talsystemet bruges i computerne, der dybest set arbejder i det binære talsystem (2-talsystemet, der kun har cifrene 0 og 1). Fidusen er, at med 4 pladser i 2-talsystemet kan man tælle op til 15 (F i hex), så med 8 pladser (8 bits) kan man gå op til FF(hex). Disse 8 bits er lig 1 byte.

Mykensk græsk

1500-1200 f.Kr.

Mykensk er overleveret i tekster (fortrinsvis lertavler) skrevet i stavelsesskriften Linear B og fundet i Mykene, Pylos, Knossos og Theben. Sprogforskere regner gerne med, at græsk var delt op i to dialekter, en sydlig og en nordlig. Fra sydgræsk, som mykensk repræsenterer, stammer de klassiske dialekter arkadisk-kyprisk og attisk-ionisk. Fra nordgræsk, der ikke er overleveret i skriftlige kilder fra det 2. årt. f.Kr., stammer dorisk og (til dels) æolisk.

Klassisk græsk

800-320 f.Kr.

Dette sprog var opsplittet i forskellige dialekter: attisk-ionisk (Attika, Euboia, ægæiske øer og det sydvestlige Lilleasien), arkadisk-kyprisk (det indre Peloponnes og Cypern), æolisk (Thessalien, Boiotien, Lesbos og det nordvestlige Lilleasien) og dorisk eller vestgræsk (det meste av Peloponnes og Mellemgrækenland, Kreta og Rhodos). Men disse dialekter har været indbyrdes forståelige, hvorfor man ikke taler om forskellige sprog.

Hellenistisk græsk

320-31 f.Kr.

I det 4. århundrede f.Kr. begynder de klassiske dialekter at forsvinde til fordel for en fælles dialekt, koiné (græsk: κοινή "fælles"), der ligger sig tættest op af attisk. Takket være Alexander den Stores erobringer blev koiné et verdenssprog i hele det østlige Middelhavsområde. Ny Testamente er skrevet på koiné.

Kejsertidens græsk

31 f.Kr.-330 e.Kr.

Koiné var fortsat det almindelige sprog, men en del forfattere vælger at skrive på klassisk attisk (atticisme).

Byzantinsk græsk

330-1453 e.Kr.

Folkesproget lå halvvejs mellem oldgræsk og nygræsk, men de fleste litterære tekster blev fortsat skrevet på en form for oldgræsk.

Nygræsk

1453 e.Kr.-

I lang tid fortsatte man med at skrive på en form for oldgræsk, og da man begyndte at skrive på nygræsk, var det med et stærkt oldgræsk islæt, katharévusa (nygræsk καθαρεύουσα "rensende (sprog)"). Folkesproget, dimotikí (nygræsk δημοτική "folkelig") vandt dog frem til sidst og er i dag landets officielle sprog.

Tallene fra 0₁₀ til 255₁₀ angivet i hexadecimal
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 0A 0B 0C 0D 0E 0F

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2B 2C 2D 2E 2F

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 3A 3B 3C 3D 3E 3F

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 4A 4B 4C 4D 4E 4F

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 5A 5B 5C 5D 5E 5F

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 6A 6B 6C 6D 6E 6F

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 7A 7B 7C 7D 7E 7F

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 8A 8B 8C 8D 8E 8F

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 9A 9B 9C 9D 9E 9F

A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 AA AB AC AD AE AF

B0 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 BA BB BC BD BE BF

C0 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 CA CB CC CD CE CF

D0 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 DA DB DC DD DE DF

E0 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 EA EB EC ED EE EF

F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 FA FB FC FD FE FF

Omregningstabel fra det hexadecimale talsystem til det decimale talsystem

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0_₁₆ 0₁₀ 1₁₀ 2₁₀ 3₁₀ 4₁₀ 5₁₀ 6₁₀ 7₁₀ 8₁₀ 9₁₀ 10₁₀ 11₁₀ 12₁₀ 13₁₀ 14₁₀ 15₁₀

1_₁₆ 16₁₀ 17₁₀ 18₁₀ 19₁₀ 20₁₀ 21₁₀ 22₁₀ 23₁₀ 24₁₀ 25₁₀ 26₁₀ 27₁₀ 28₁₀ 29₁₀ 30₁₀ 31₁₀

2_₁₆ 32₁₀ 33₁₀ 34₁₀ 35₁₀ 36₁₀ 37₁₀ 38₁₀ 39₁₀ 40₁₀ 41₁₀ 42₁₀ 43₁₀ 44₁₀ 45₁₀ 46₁₀ 47₁₀

3_₁₆ 48₁₀ 49₁₀ 50₁₀ 51₁₀ 52₁₀ 53₁₀ 54₁₀ 55₁₀ 56₁₀ 57₁₀ 58₁₀ 59₁₀ 60₁₀ 61₁₀ 62₁₀ 63₁₀

4_₁₆ 64₁₀ 65₁₀ 66₁₀ 67₁₀ 68₁₀ 69₁₀ 70₁₀ 71₁₀ 72₁₀ 73₁₀ 74₁₀ 75₁₀ 76₁₀ 77₁₀ 78₁₀ 79₁₀

5_₁₆ 80₁₀ 81₁₀ 82₁₀ 83₁₀ 84₁₀ 85₁₀ 86₁₀ 87₁₀ 88₁₀ 89₁₀ 90₁₀ 91₁₀ 92₁₀ 93₁₀ 94₁₀ 95₁₀

6_₁₆ 96₁₀ 97₁₀ 98₁₀ 99₁₀ 100₁₀ 101₁₀ 102₁₀ 103₁₀ 104₁₀ 105₁₀ 106₁₀ 107₁₀ 108₁₀ 109₁₀ 110₁₀ 111₁₀

7_₁₆ 112₁₀ 113₁₀ 114₁₀ 115₁₀ 116₁₀ 117₁₀ 118₁₀ 119₁₀ 120₁₀ 121₁₀ 122₁₀ 123₁₀ 124₁₀ 125₁₀ 126₁₀ 127₁₀

8_₁₆ 128₁₀ 129₁₀ 130₁₀ 131₁₀ 132₁₀ 133₁₀ 134₁₀ 135₁₀ 136₁₀ 137₁₀ 138₁₀ 139₁₀ 140₁₀ 141₁₀ 142₁₀ 143₁₀

9_₁₆ 144₁₀ 145₁₀ 146₁₀ 147₁₀ 148₁₀ 149₁₀ 150₁₀ 151₁₀ 152₁₀ 153₁₀ 154₁₀ 155₁₀ 156₁₀ 157₁₀ 158₁₀ 159₁₀

A_₁₆ 160₁₀ 161₁₀ 162₁₀ 163₁₀ 164₁₀ 165₁₀ 166₁₀ 167₁₀ 168₁₀ 169₁₀ 170₁₀ 171₁₀ 172₁₀ 173₁₀ 174₁₀ 175₁₀

B_₁₆ 176₁₀ 177₁₀ 178₁₀ 179₁₀ 180₁₀ 181₁₀ 182₁₀ 183₁₀ 184₁₀ 185₁₀ 186₁₀ 187₁₀ 188₁₀ 189₁₀ 190₁₀ 191₁₀

C_₁₆ 192₁₀ 193₁₀ 194₁₀ 195₁₀ 196₁₀ 197₁₀ 198₁₀ 199₁₀ 200₁₀ 201₁₀ 202₁₀ 203₁₀ 204₁₀ 205₁₀ 206₁₀ 207₁₀

D_₁₆ 208₁₀ 209₁₀ 210₁₀ 211₁₀ 212₁₀ 213₁₀ 214₁₀ 215₁₀ 216₁₀ 217₁₀ 218₁₀ 219₁₀ 220₁₀ 221₁₀ 222₁₀ 223₁₀

E_₁₆ 224₁₀ 225₁₀ 226₁₀ 227₁₀ 228₁₀ 229₁₀ 230₁₀ 231₁₀ 232₁₀ 233₁₀ 234₁₀ 235₁₀ 236₁₀ 237₁₀ 238₁₀ 239₁₀

F_₁₆ 240₁₀ 241₁₀ 242₁₀ 243₁₀ 244₁₀ 245₁₀ 246₁₀ 247₁₀ 248₁₀ 249₁₀ 250₁₀ 251₁₀ 252₁₀ 253₁₀ 254₁₀ 255₁₀

Omregningstabel fra det decimale talsystem til det hexadecimale talsystem

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0_₁₀ 0₁₆ 1₁₆ 2₁₆ 3₁₆ 4₁₆ 5₁₆ 6₁₆ 7₁₆ 8₁₆ 9₁₆

1_₁₀ A₁₆ B₁₆ C₁₆ D₁₆ E₁₆ F₁₆ 10₁₆ 11₁₆ 12₁₆ 13₁₆

2_₁₀ 14₁₆ 15₁₆ 16₁₆ 17₁₆ 18₁₆ 19₁₆ 1A₁₆ 1B₁₆ 1C₁₆ 1D₁₆

3_₁₀ 1E₁₆ 1F₁₆ 20₁₆ 21₁₆ 22₁₆ 23₁₆ 24₁₆ 25₁₆ 26₁₆ 27₁₆

4_₁₀ 28₁₆ 29₁₆ 2A₁₆ 2B₁₆ 2C₁₆ 2D₁₆ 2E₁₆ 2F₁₆ 30₁₆ 31₁₆

5_₁₀ 32₁₆ 33₁₆ 34₁₆ 35₁₆ 36₁₆ 37₁₆ 38₁₆ 39₁₆ 3A₁₆ 3B₁₆

6_₁₀ 3C₁₆ 3D₁₆ 3E₁₆ 3F₁₆ 40₁₆ 41₁₆ 42₁₆ 43₁₆ 44₁₆ 45₁₆

7_₁₀ 46₁₆ 47₁₆ 48₁₆ 49₁₆ 4A₁₆ 4B₁₆ 4C₁₆ 4D₁₆ 4E₁₆ 4F₁₆

8_₁₀ 50₁₆ 51₁₆ 52₁₆ 53₁₆ 54₁₆ 55₁₆ 56₁₆ 57₁₆ 58₁₆ 59₁₆

9_₁₀ 5A₁₆ 5B₁₆ 5C₁₆ 5D₁₆ 5E₁₆ 5F₁₆ 60₁₆ 61₁₆ 62₁₆ 63₁₆

10_₁₀ 64₁₆ 65₁₆ 66₁₆ 67₁₆ 68₁₆ 69₁₆ 6A₁₆ 6B₁₆ 6C₁₆ 6D₁₆

11_₁₀ 6E₁₆ 6F₁₆ 70₁₆ 71₁₆ 72₁₆ 73₁₆ 74₁₆ 75₁₆ 76₁₆ 77₁₆

12_₁₀ 78₁₆ 79₁₆ 7A₁₆ 7B₁₆ 7C₁₆ 7D₁₆ 7E₁₆ 7F₁₆ 80₁₆ 81₁₆

13_₁₀ 82₁₆ 83₁₆ 84₁₆ 85₁₆ 86₁₆ 87₁₆ 88₁₆ 89₁₆ 8A₁₆ 8B₁₆

14_₁₀ 8C₁₆ 8D₁₆ 8E₁₆ 8F₁₆ 90₁₆ 91₁₆ 92₁₆ 93₁₆ 94₁₆ 95₁₆

15_₁₀ 96₁₆ 97₁₆ 98₁₆ 99₁₆ 9A₁₆ 9B₁₆ 9C₁₆ 9D₁₆ 9E₁₆ 9F₁₆

16_₁₀ A0₁₆ A1₁₆ A2₁₆ A3₁₆ A4₁₆ A5₁₆ A6₁₆ A7₁₆ A8₁₆ A9₁₆

17_₁₀ AA₁₆ AB₁₆ AC₁₆ AD₁₆ AE₁₆ AF₁₆ B0₁₆ B1₁₆ B2₁₆ B3₁₆

18_₁₀ B4₁₆ B5₁₆ B6₁₆ B7₁₆ B8₁₆ B9₁₆ BA₁₆ BB₁₆ BC₁₆ BD₁₆

19_₁₀ BE₁₆ BF₁₆ C0₁₆ C1₁₆ C2₁₆ C3₁₆ C4₁₆ C5₁₆ C6₁₆ C7₁₆

20_₁₀ C8₁₆ C9₁₆ CA₁₆ CB₁₆ CC₁₆ CD₁₆ CE₁₆ CF₁₆ D0₁₆ D1₁₆

21_₁₀ D2₁₆ D3₁₆ D4₁₆ D5₁₆ D6₁₆ D7₁₆ D8₁₆ D9₁₆ DA₁₆ DB₁₆

22_₁₀ DC₁₆ DD₁₆ DE₁₆ DF₁₆ E0₁₆ E1₁₆ E2₁₆ E3₁₆ E4₁₆ E5₁₆

23_₁₀ E6₁₆ E7₁₆ E8₁₆ E9₁₆ EA₁₆ EB₁₆ EC₁₆ ED₁₆ EE₁₆ EF₁₆

24_₁₀ F0₁₆ F1₁₆ F2₁₆ F3₁₆ F4₁₆ F5₁₆ F6₁₆ F7₁₆ F8₁₆ F9₁₆

25_₁₀ FA₁₆ FB₁₆ FC₁₆ FD₁₆ FE₁₆ FF₁₆ 100₁₆ 101₁₆ 102₁₆ 103₁₆

Se også

- Talsystem Kategori:Datalogi Kategori:Tal ja:十六進記数法 ko:십육진법 th:เลขฐานสิบหก

1 (tal)



Kardinaltal	1 en (eller et)
Ordinaltal	første
Talsystem	unitært
Faktorer	$1$
Divisorer	1
Romertal	I
præfikser	mono- (fra græsk) uni- (fra latin)
Binær værdi	1
Oktal værdi	1
Duodecimal værdi	1
Hexadecimal værdi	1

1 (En eller et) er:
- Det første naturlige tal, derefter følger 2
- Heltallet efter 0
- Et kvadrattal og et trekanttal
- Det første og andet af fibonaccis tal Det danske ord "en" deler etymologi med de andre indoeuropæiske sprogs ord for det samme og lader ikke til at have nogen bagvedliggende betydning.

I matematik

Andet

Der er:
- 1 gud i monoteistiske religioner som f.eks. kristendommen.
- 1 i en solo
- i telefoni er 1 det internationale retningsnummer for U.S.A. Kategori:Artikler om bestemte tal ja:1 ko:1 simple:One th:1

Heltal

Heltal er tal der kan skrives uden brug af brøker eller decimaler. De er en "udvidelse" af begrebet naturligt tal; hvis man begrænser sig til kun at bruge de naturlige tal, vil der være visse subtraktioner der ikke kan beregnes (når man trækker et større tal fra et mindre). For at sådanne regnestykker skal give mening, er det nødvendigt at udvide de naturlige tal med ikke blot tallet 0, men også de negative hele tal.
Indenfor matematikken opererer man med en talmængde, kaldet

\mathbb

, som omfatter alle hele tal, positive som negative samt nul. ja:整数 ko:정수 th:จำนวนเต็ม

Primtal

Hvor mange primtal

Største kendte primtal

Forskellige slags primtal

Ubesvarede spørgsmål

Andre egenskaber

Eksterne henvisninger

- [http://www.246.dk/primtal.html 246.dk: Primtal]
- En grundig gennemgang på engelsk af primtal http://www.utm.edu/research/primes ja:素数 ko:소수 (수론) th:จำนวนเฉพาะ

Fibonaccis tal

Fibonacci-tal er en talfølge, for hvilken det gælder, at et tal i følgen er summen af de to foregående. Det vil sige

F_ = F_ + F_

for

n\geq3

, og hvor

F_1 = F_2 = 1

. Deles et tal med det foregående i følgen fremkommer en værdi, der med stadig større nøjagtighed svarer til forholdene i Det gyldne snit (1:1,618 og 0,618:1). Talfølgen blev første gang beskrevet i 1202 af den italienske matematiker Fibonacci, men har nok været brugt længe før. Tallene kan også relateres til en simpel model for populationers formering, hvor det tager en vis tid for et "nyfødt" individ, før det er vokset op og kan formere sig. Eksemplet er en encellet organisme, der deler sig. Først findes et enkelt individ. (1). Derefter deler cellen sig i to. (2). I næste omgang er den gamle celle klar til at dele sig til to igen, men den nye celle sidder over en omgang, til den er "vokset op", og der er derfor tre celler i alt nu. (3). Næste omgang er der to gamle celler, der kan dele sig til fire og en enkelt ny, der sidder over en omgang..det giver tallet (5). Osv... Modellen tager ikke hensyn til individer, der dør, samt mange andre faktorer, men kan faktisk bruges til simple beregninger på nye populationer af encellede organismer, der formerer sig hurtigt ved celledeling. Fibonacci-tal kommer til udtryk i hverdagen. Det er f.eks. disse tal, der giver det fine regelmæssige mønster i hvordan solsikkekernerne sidder på en solsikkeblomst, hvordan de små buketter sidder på et blomkålshoved og hvordan frøene sidder i en grankogle. Fibonacci-tal findes som komplicerede spiralmønstre overalt i naturen.

Perlscript til udskrift af talfølgen

#!/usr/bin/perl

use bigint;

my ($a, $b) = (1, 1);
for (;;)

En ikke-rekursiv formel for et n'te Fibonacci-tal

Ud fra den tidligere viste definition er man nødt til at kende alle de underliggende Fibonacci-tal for et n'te Fibonacci-tal, man ønsker at bestemme. Det vil sige, f.eks. for at bestemme

F_

er man nødt til at kende

F_9

F_8

, hvilket igen betyder, at man skal bestemme

F_9

F_8

. For at bestemme disse skal man igen kende hhv.

F_8

F_7

samt

F_7

F_6

osv. Dette kan undgås ved at anvende følgende ikke-rekursive formel for et n'te Fibonacci-tal.

F_n = \frac \left(  \left( \frac\right)^n -\left(\frac\right)^n   \right)

Se også

- Tabel med de første 500 Fibonnacci tal

Ekstern henvisning

- [http://www.google.dk/search?q=dr.dk+%22Fibonacci+talr%E6kken%22 Danmarks Radios Viden om: Fibonacci-talrækken]
- Fibonacci-talrækken har ID-nummer [http://www.research.att.com/projects/OEIS?Anum=A000045 A000045] i [http://www.research.att.com/~njas/sequences/ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences] Kategori:Tal ja:フィボナッチ数 ko:피보나치 수

Binære talsystem

Det binære talsystem eller totalssystemet består kun af cifrene 0 og 1. Det anvendes i computere til maskinkode og til hulkort. I hulkortsystemet repræsenteres 1 af et hul og 0 af intet hul. I elektronikkens digitale (logiske) kredsløb (og dermed også computere) kan de to værdier repræsenteres ved om der løber en strøm eller der ikke løber en strøm (spænding eller 0 volt). Det binære talsystem læses fra højre mod venstre, altså "baglæns". Tallet på den første plads repræsenterer 1, anden plads 2, tredje plads 4, fjerde plads 8 osv. Et 1-tal betyder, at tallet skal tælles med, et 0 at det ikke skal. Man omregner det binære tal til et decimaltal ('normalt' tal) ved at lægge værdien af de repræsenterede tal sammen. Dvs. at 2 skrives således: 0010, mens 7 skrives således: 0111. Overskueligheden i det binære talsystem fås, hvis man deler de enkelte cifre (bits) op i grupper af 4 fra højre (ligesom det almindelige 10-talssystems 3-grupper). Hver 4-gruppe (kaldes også en nibble) kan så andrage værdien 0-15 i titalssystemet eller 0-F i det hexadecimale talsystem. 2 stk. 4-grupper udgør således 8 bit eller 1 byte.

Omregning til decimaltal

Ikke altid præsenteres man for binære tal i praktiske grupper. En hurtig hovedomregning til decimaltal (10-talsystemet) kan laves med multiplikationsmetoden (også kaldet duble-dable-metoden). Den er hurtigere end omregning plads for plads, og sker på den måde at man starter fra venstre og tager det første ciffer. Hver gang man går mod højre, ganger man med 2, og hver gang man kommer til en ny plads, lægger man dette ciffer til: Eksempel: Tallet 1101101 binært omregnes til 10-talssystemet således:
Start fra venstre:1
Flyt til højre(x2)=2 Læg 1 til =3
Flyt til højre(x2)=6 Læg 0 til =6
Flyt til højre(x2)=12 Læg 1 til =13
Flyt til højre(x2)=26 Læg 1 til =27
Flyt til højre(x2)=54 Læg 0 til =54
Flyt til højre(x2)=108 Læg 1 til =109
Denne metode er generel for alle positionstalsystem; man ganger med grundtallet. En anden metode er omregning plads for plads ved at man adderer de enkelte bits værdi. I ovennævnte eksempel er der 1-taller på positionerne for 1,4,8,32 og 64. Adderes disse tal, fås resultatet 109.

Ordsprog

- Der findes 10 forskellige slags mennesker. Dem der kender det binære talsystem og dem der ikke gør.

Se også

- Hexadecimale talsystem
- Oktale talsystem
- Talsystem Kategori:Datalogi Kategori:Tal ja:二進記数法 ko:이진법 th:เลขฐานสอง

Indoeuropæiske sprog

Indoeuropæisk er en sprogfamilie der omfatter omkring 150 sprog talt af omkring 3 milliarder mennesker, inklusive næsten alle europæiske sprog og mange sprog i Syd- og Vestasien. Den spænder fra store sprog såsom engelsk til hindi og urdu.

Navnets historie

At disse sprog stammede fra et fælles oprindeligt grundsprog, blev først foreslået af Sir William Jones i 1786. Som en af de første europæere havde han stiftet kendskab med sanskrit, indernes klassiske sprog, og var herved blevet opmærksom på de slående ligheder i grammatikken og ordforrådet mellem dette og græsk og latin. Den danske sprogforsker Rasmus Rask skrev i 1814 prisopgaven Undersøgelse om det gamle nordiske eller islandske sprogs oprindelse, hvori han demonstrerede, at de nordiske sprog var beslægtet med græsk og latin, og at ordenes slægtskab kunne bevises ved at antage regelmæssige lydlove ("den germanske lydforskydning"). To år efter kom Franz Bopps Über die Konjugationssystem der Sanskritsprache in Vergleichung mit jenen der griechischen, lateinischen, persischen und germanischen Sprache. Fra alle sider blev man således opmærksom på, at indisk, græsk, latin og germansk kom af samme rod. Den sprogfamilie blev snart kendt som indogermansk eller indoeuropæisk, idet man betegnede den efter sine to yderpunkter (-germansk, fordi man på det tidspunkt ikke vidste, at det endnu vestligere keltisk også var indoeuropæisk). Det første navn er stadig det almindeligste på tysk (indogermanisch), men på andre sprog er det siden den anden mulighed, der slog igennem, fordi man følte, at germansk pegede snævert imod netop tysk. Ordet arisk var egentlig indernes og iranernes betegnelse for sig selv, men da man i begyndelsen fejlagtigt troede, at sanskrit slet og ret var urindoeuropæisk, blev det i vide kredse også almindeligt at bruge arisk som synonym for indoeuropæisk, selv efter at man erkendte, at sanskrit kun var en kusine eller gammel tante til de andre indoeuropæiske sprog. Efter at nazisternes udryddede millioner af mennesker med henvisning til arierbegrebet, er der imidlertid ingen, der har villet bruge ordet i den brede betydning, og det bruges i dag kun om den indiske gren af indoeuropæisk, ofte i formen "indoarisk", i modsætning til de mange ikke-indeorupæiske sprog i Indien.

Urindoeuropæisk

Grundsproget

Grundsproget, det såkaldte urindoeuropæisk (eller "protoindoeuropæisk"), er rekonstrueret på grundlag af de sprog, der nedstammer fra det; ved at sammenligne alle kendte, levende og uddøde, indoeuropæiske sprog har man fundet frem til en lang række fællesord (rødder og stammer), en fælles grammatik (morfologi) og en fælles syntaks. Så længe der ikke findes skriftlige levn (eller for den sags skyld lydoptagelser) af urindoeuropæisk, vil rekonstruktionen altid være en mere eller mindre sandsynlig tilnærmelse til et ideelt fikspunkt. Urindoeuropæisk er derfor ikke et sprog i samme forstand som dansk eller latin, men en abstraktion, en slags forhistorisk fællesnævner for de faktisk belagte historiske indoeuropæiske sprog. Eftersom rekonstruktionen således ikke kan verificeres af ydre data, må dens sandsynlighed alene bero på dens evne til at redegøre for de historiske former i enkeltsprogene så fornuftigt som muligt. Men selv om de enkelte detaljer kan diskuteres og stadig bliver det, så er der dog generel enighed blandt lingvister om hovedkonklusionen: at de indoeuropæiske sprog er "genetisk" beslægtede i den forstand, at de er udviklet fra det samme sprog eller i det mindste den samme gruppe af sprog.

Morfologi

Grundsproget havde tre grammatiske køn for substantiverne: maskulinum, femininum og neutrum (der er dog forskere, som peger på, at der muligvis i en tidligere fase af indoeuropæisk kun var to køn, der betegnede henholdsvis levende væsener og døde genstande). Der var tre tal: singularis, dualis og pluralis, og der var otte kasus: nominativ, vokativ, akkusativ, genitiv, ablativ, dativ, lokativ og instrumentalis. Verberne blev bøjet i aktiv og medium, og de havde følgende modi: indikativ, injunktiv , konjunktiv, optativ og imperativ. Man går traditionelt ud fra disse tidsbøjninger: præsens, imperfektum / præteritum (= injunktiv med forstavelsen eller augmentet (h1)e-: kun indoiransk, armensk, frygisk og græsk), perfektum (= præteritum i germansk) og måske futurum. Der ser desuden ud til at have været en skelnen mellem imperfektive stammer og aoriststammer som i de slaviske sprog og græsk. Endelig blev verberne bøjet i tre personer og, ligesom substantiverne og adjektiverne, i tre tal: singularis, dualis og pluralis. Det var kendetegnende for urindoeuropæisk, at mange substantiver og verber havde vokalveksel eller aflyd (ty. og eng. Ablaut) i roden. Noget lignende kendes fra de semitiske sprog. Den indoeuropæiske aflyd var enten kvalitativ (e ~ o) eller kvantitativ (e ~ ē ~ -). Det er denne aflyd, der lever videre i de germanske stærke verber, f.eks. binde : bandt : bundet, byde : bød : budt eller bide : bed : bidt, der alle har den karakteristiske veksel mellem e-trin i infinitiv og præsens, o-trin i præteritum og nultrin i participiet (germansk.
- bind- :
- band- :
- bund-,
- biud- :
- baud- :
- bud-,
- bīt- :
- bait- :
- bhit- < urindoeuropæisk
- bhendh- :
- bhondh- :
- bhndh-,
- bheudh- :
- bhoudh- :
- bhudh- og
- bheid- :
- bhoid- :
- bhid-). Den almindeligste verbalbøjning, som man kalder tematisk, fordi den har en stammevokal eller temavokal (e/o) foran endelsen, ser i en række klassiske indeuropæiske sprog således ud i præsens aktiv:
- Sanskrit bhárāmi, bhárasi, bhárati, bhárāmasi, bhárata, bháranti
- Avestisk barā(mi), barahi, baraiti, barāmahi, baraθā, barənti
- Græsk φέρω, φέρεις, φέρει, φέρομεν, φέρετε, φέροντι (dorisk) > -ουσι(ν) (attisk)
- Latin vehō, vehis, vehit, vehimus, vehitis, vehunt
- Gotisk bairau, bairis, bairiþ, bairam, bairiþ, bairand
- Oldkirkeslavisk vezoͅ, vezeši, veze(tъ), vezemъ, vezete, vezoͅtъ
- Litauisk vežù, vežì, veža, vežame, vežate, veža
- Oldirsk biru, biri, berid, bermai, beirthe, berait
- Hittitisk pí-eš-ki-mi, pí-iš-ki-ši, pí-eš-kiz-zi, pí-eš-ga-u-e-ni, pí-eš-kit-te-ni, pí-eš-kán-zi Der kan ikke være nogen tvivl om, at disse bøjninger går tilbage til et fælles udgangspunkt, som man traditionelt (siden Karl Brugmann) har rekonstrueret på følgende måde:
- Urindoeuropæisk
- bherō,
- bheresi,
- bhereti,
- bheromes,
- bherete,
- bheronti I nyere tid har man derimod været opmærksom på, at urindoeuropæisk ikke var et statisk sprog, og man er derfor mere tilbøjelig til at antage følgende endelser (Calvert Watkins):
- Urindoeuropæisk
- bheroh2,
- bherei > esi,
- bherei > -eti,
- bheromos,
- bherete,
- bheronti De yngre endelser skal være opstået under indflydelse af et andet hyppigt paradigme, det såkaldt atematiske, der f.eks. kendes fra verbet "at være":
- Sanskrit ásmi, ási, ásti, smás(i), sthá, sánti
- Avestisk ahmi, ahi, asti, mahi, stā, hənti
- Græsk εἰμί, εἶ, ἐστί, εἰμέν, ἐστέ, ἐντί (dorisk) > εἰσί(ν) (attisk)
- Latin sum, es, est, sumus, estis, sunt
- Gotisk im, is, ist, sijum, sijuþ, sind
- Hittitisk e-eš-mi, e-eš-ši / e-eš-ti, e-eš-zi,
- aš-wa-ni,
- aš-te-ni, a-ša-an-zi <
- Urindoeuropæisk
- h1ésmi,
- h1éssi,
- h1ésti,
- h1smós,
- h1sté,
- h1sénti Lignende rekonstruktioner kan foretages for andre dele af verbalsystemet og for nominalsystemet, dvs. substantiver og adjektiver. Det er klart, at alt dette ikke bare kan være lånt sammen med ordene (som dansk leksikon ~ leksika, hotdog ~ hotdogs, der deres enkelhed til trods alligevel ikke er stabile paradigmer).

Lydlove

En vigtig forskel mellem lighed som følge af kontakt og lighed som følge af slægtskab består i de såkaldte lydlove. Ordet lydlov (Lautgesetz, sound-law) er uheldigt, fordi det giver et indtryk af universel gyldighed ligesom naturlovene eller af bevidst vedtagelse ligesom samfundets love, og derfor bruger man også det mindre prætentiøse lydregel (Lautregel, sound-rule). Men pointen er, at beslægtede ord i beslægtede sprog forholder sig til hinanden i henhold til regelmæssige forandringer af sprogets lyd (fonemer). Det er danskeren Rasmus Rask, der første gang formulerede en lydlov (selv om han ikke brugte dette ord), da han observerede, at de germanske sprog havde en række ord, der kunne sættes i forbindelse med de tilsvarende græske og latinske ord, hvis man antog, at lydene (Rask sagde "bogstaverne") blev skiftet ud efter et reglmæssigt mønster. Han beskrev i den forbindelse den serie af lydlove, som vi kalder den germanske lydforskydning, f.eks. græsk κ, latin c = germansk h (f.eks. dansk hund = lat. canis, gr. κύων) eller græsk χ, latin h = germ. g (f.eks. dansk gås = gr. χήν). Da den århusianske sprogforsker Karl Verner var i stand til at forklare visse tilsyneladende uregelmæssigheder i den germanske lydforskydning under henvisning til accentens stilling i græsk og sanskrit ("den vernerske veksel"), gav det medvind til den strømning i den historiske sprogvidenskab, der gik under navnet junggrammatikerne, og som fastholdt lydlovenes undtagelsesløshed (die Ausnahmslosigkeit der Lautgesetze). I dag vil sprogforskerne bløde op på junggrammatikernes lydlovsbegejstring; man har konstateret, at lydlovene ikke rammer alle ord på én gang som ved et guddommeligt sving med tryllestaven, og de kan derfor godt glemme et par ord i skydningen i sprogets udkroge eller omvendt aldrig rigtig komme fra starten, således at det kun er en håndfuld ord, der når at blive ramt. Det overordnede princip er dog gyldigt, nemlig at beslægtede ord i princippet skal overholde de lydlove, der gælder for de pågældende sprog. Alle germanske ord, der er urbeslægtet med græske og latinske ord skal derfor overholde den germanske lydforskydning (inkl. den vernerske veksel), og de ord, der ikke overholder dem, er enten ikke beslægtet (f.eks. da. have ≠ lat. habeō 'have', men derimod = lat. capiō 'tage') eller senere lån (f.eks. da. kennel < lat. canis 'hund').

Fælles ord

Der er hundredvis af ord, der optræder i de fleste indoeuropæiske sprog eller i et bredt udsnit af dem. Det drejer sig f.eks. om ord som
- dems 'hus',
- dhueres 'dør',
- medhu 'honning, mjød',
- albhis /
- bharos /
- g’hersdā /
- ieuos 'byg, spelt',
- g’dhūs /
- piskos 'fisk',
- sals 'salt',
- gwous 'ko, okse',
- ek’uos 'hest',
- ouis 'får',
- sūs 'svin',
- kwriəmoi 'købe',
- bherō 'bære',
- edmi 'spise',
- sēiō 'så',
- ubhnāmi (
- uebhō) 'væve',
- ul̅nom 'uld',
- nogwnos 'nøgen',
- aios 'kobber',
- ausom 'guld',
- nsis 'sværd',
- lonkos 'bue',
- k’elus 'pil',
- nāus 'skib',
- ueg’hō 'køre',
- kwekwlos 'hjul',
- arətrom 'plov' (rekonstruktionerne er "klassiske", dvs. uden laryngaler). Man har brugt disse ord til at diagnosticere den urindoeuropæiske kultur og dermed lokalisere urhjemmet. Ordene giver et utvetydigt signalement af en landbrugskultur, der lever af kvæg og korn, og som har nogen kendskab til metal. Mere præcist kan man nok heller ikke bestemme den urindoeuropæiske kultur ud fra ordforrådet. Tidligere lagde man stor vægt på fælls trænavne. Når man f.eks. ad rekonstruktionens vej kunne nå frem til et fælles ord for 'bøg', nemlig
- bhāg’ós (f.eks. da. bøg, lat. fāgus, gr. φηγός), så måtte urindoeuropæerne også have boet i et område, hvor der voksede bøge; og da der ikke vokser bøge øst for en linie, der går fra Köngsberg til Krim, mente man, at indoeuropæernes urhjem (se nedenfor) måtte have ligget i Mellemeuropa. Problemet er blot, at man selvfølgelig ikke har nogen garanti for, at
- bhāg’ós netop betegnede bøgen og ikke et andet træ, blot fordi ordet er kommet til at betyde 'bøg' i germansk og på latin; græsk φηγός er derimod en eg. Endelig behøver bøgegrænsen ikke have gået det samme sted for 5-6000 år siden.

Kritik af indoeuropæisk

Race og sprog

Selv om teorien om de indoeuropæiske sprogs genetiske slægtskab og dermed et indoeuropæisk grundsprog er accepteret af så godt som alle sprogvidenskabsmænd, har den dog også mødt kritik. Kritikken har især været af ideologisk art, og den har især været fremført af ikke-sprogvidenskabsmænd. Det betyder dog ikke, at den ikke har peget på virkelige problemer i teorien, men kun at kritikken må relativeres og modificeres. Som bekendt blev begrebet indoeuropæisk misbrugt af raceteoretikere til at argumentere for, at der var en grundlæggende værdiforskel mellem de folk (den "race"), der talte et indoeuropæisk sprog, og alle andre folkeslag ("racer"). Eftersom dette misbrug blev del af en ideologi, der gennemførte en bestialsk tilintetgørelse af millioner af jøder og andre "ikke-ariske racer", er det klart, at man i den efterfølgende periode var utryg ved at beskæftige sig med indoeuropæisk under nogen som helst form.

Sammenlignende vs. almen sprogvidenskab

Der har desuden været en anden udvikling, der gar bidraget til, at indoeuropæisk mødte modstand. Hvor den tidlige lingvistik havde fokuseret meget kraftigt på den sammenlignende sprogvidenskab, svingede pendulet i 1930'erne over til, at det var mere moderne at beskæfte sig med samtidige sprogsystemer. Det var den gamle indoeuropæist Ferdinand de Saussure, der gav startskuddet til denne udvikling med sine posthumt udgivne Cours de linguistique générale ved at betone vigtigheden af at skelne diakron og synkron lingvistik. I den efterfølgende generation blev denne formaning af nogle omfortolket til, at sprogsammenligning var uvidenskabelig, og at virkelig sprogvidenskab kun kunne beskæftige sig med observerbare data. I 1960'erne og 1970'erne blev den indoeuropæiske og sammenlignende sprogvidenskab derfor betragtet som borgerlig og reaktionær. Studiet blev følgelig marginaliseret på universiteterne, lærestole i indoeuropæistik blev nedlagt (en udvikling, der endnu pågår), og sproghistorien blev skrevet ud af studieordningerne eller beskåret kraftigt på de enkelte sprogfag.

Diffusion

Den ældre arkæologi havde, med afsæt i den sprogvidenskabelige indoeuropæistik, været opsat på at identificere folkevandringer i det arkæologiske materiale og på at forklare alle markante ændringer i kulturen ud fra et befolkningsskifte. Efterkrigstidens generation af arkæologer var naturligvis skeptiske over for denne metode og gik for en stor dels vedkommende over i den modsatte grøft, idet man afviste snart sagt enhver form for indvandring (på nær den første). (I Danmark har denne generations skepsis over for det europæiske samarbejde muligvis også spillet en (ubevidst) rolle.) Kulturelle nyskabelser blev i stedet forklaret ved diffusion, dvs. spredning fra et folk til et andet i fredligt samkvem og ikke gennem en aggressiv erobring. Det var derfor nærliggende at mene, at et land som Danmark var begyndt at tale indoeuropæisk som en følge af en intens kulturel påvirkning sydfra. Tanken om sproglig diffusion har en uheldig forløber i den sovjetrussiske videnskabsmand Nikolaj Javkovlivič Marr (1865-1934), der ikke anerkendte den historiske sprogvidenskabelige metode og forklarede alle ligheder mellem sprog som en følge af diffusion. Han afviste slet og ret, at der overhovedet eksisterede sprogligt slægtskab og genetiske sproggrupper som slavisk. Fordi han havde haft en gunstig placering i den tidlige Sovjetunion, gjaldt hans meget eksotiske fortolkninger i lang tid som dogme på de sovjetiske universiteter, indtil selveste Stalin personligt greb ind og i et åbent brev i Pravda i 1950 stemplede dem som uvidenskabelige og dermed umarxistiske. Marrs radikale diffusionisme er nok et særsyn i dag. Man kan under alle omstændigheder ikke diskreditere enhver brug af diffusion på den baggrund. Diffusion er helt sikkert en adækvat model til at forklare udvekslingen af materiel kultur, og det derfor har været fornuftigt af den nye arkæologi at betone diffusionens betydning over for den klassiske invasionsteorie. Om sproglig lighed er opstået ved diffusion eller skyldes oprindeligt slægtskab, må altid komme an på den pågældende situation og på, hvilken model der bedst kan forklare de foreliggende data. Diffusion eller konvergens (at to sprog bliver mere lig hinanden over tid) er velegnet til at beskrive løse sprogfamilier såsom altaisk, dvs. tyrkisk-mongolsk (det er stadig omdiskuteret). I de indoeuropæiske sprogs tilfælde er diffusionsmodellen derimod ikke adækvat. Det er rigtigt, at der i dag er tusindvis af kulturord, der er fælles for alle eller de fleste europæiske sprog såsom telefon, computer, hallo. Men i de indoeuropæiske sprog ville det imidlertid ikke kun være ord, der var lånt, men også hele morfologien, der i de ældre indoeuropæiske sprog er så kompleks, at den grundlæggende overensstemmelse på ingen måde kan bero på en tilfældighed, og et lån nærmest er utænkeligt. Og det er ikke kun færdige ord, der er fælles for de indoeuropæiske sprog, men i lige så høj grad disse ords byggestene ("rødder") og reglerne for, hvordan der dannes afledninger af disse byggestene.

Opsummering

Den sprogvidenskabelige kerne i den indoeuropæiske teori - at de indoeuropæiske sprog er beslægtede og har et fælles ophav - er som sådan uangribelig, selv om der er mange enkeltheder i teorien, der er diskutable, ganske enkelt, fordi de bygger på sandsynlighedsargumenter og ikke kan sig verificeres, så længe der ikke findes direkte kilder til det urindoeuropæiske grundsprog. Det er vigtigt at understrege, at antagelsen af den sprogvidenskabelige teori ikke nødvendigvis vil indebære, at man så også må acceptere f.eks. en model med aggressive patriarkalske erobrere, der propaganderede en dumézilsk ideologi. Der er - med rette - mange, der føler et ubehag ved at tilslutte sig noget, de opfatter som et fascistisk projekt. De arkæologiske og religionshistoriske teorier, der opererer med indoeuropæisk er imidlertid ikke forudsætninger for den sprogvidenskabelige indoeuropæistik, men støtter sig blot til den. Man kan derfor være enig eller uenig med Georges Dumézils teori om den indoeuropæiske trefunktionsideologi eller med Marija Gimbutas' teori om de matriarkalske urindoeuropæere, men det har ingen betydning for den sproghistoriske rekonstruktion. Selv om det i første omgang har været ikke-sprogvidenskabsfolk, især arkæologer, der har fremført kritikken, har den ydet et væsentligt bidrag til den sprogvidenskabelige teori. Diffusionsmodellen er ganske vist i sig selv utilstrækkelig til at forklare ligheden mellem de indoeuropæiske sprog, men moderne arkæologi opererer med andre, langt mere sofistikerede mellemformer mellem den aggressive erobring og den fredelige langdistancekontakt. Disse modeller har forbedret vores forståelse af, hvordan indoeuropæisk kan være blevet udbredt, og hvordan de enkelte sproggrupper kan være blevet dannet.

Urhjemmet

Indledning

Eftersom urindoeuropæisk netop er en sprogvidenskabelig abstraktion, kan det ikke uden videre identificeres med én særlig forhistorisk arkæologisk kultur, selv om der har været og stadig bliver gjort talrige forsøg herpå. Forslagene til, hvor det indoeuropæiske urhjem skulle placeres har været mange og indbyrdes modstridende. En del af forslagene er nationalistisk motiverede som f.eks. Nordeuropa eller Indien. De fleste vil dog foretrække et forslag, der ligger i midten af det store område, hvor der tales eller blev talt indoeuropæiske sprog, og her er der to forslag, der har vundet større tilslutning end andre, nemlig stepperne nord for Sortehavet og Det kaspiske Hav og Lilleasien.

Det nordlige sortehavsområde

Det traditionelle synspunkt er, at urindoeuropæisk blev talt af et folk, der boede i det nuværende Ukraine og Sydrusland. Som en følge af deres tæmning af hesten havde dette folk en fordel, der førte til, at de i løbet af forholdsvis kort tid ekspanderede fra deres kerneområde ud over Europa og Sydasien. De sættes i forbindelse med den såkaldte kurgankultur (russisk kurgán 'gravhøj'), idet skikken med at rejse gravhøje - ifølge teorien - spreder sig fra øst mod vest i flere successive bølger. Disse kurganfolk skal desuden have været mere krigeriske (og patriarkalske), hvorfor de hurtigt fik overtaget i forhold til de mere fredelige (og matriarkalske) agerdyrkere i de lande, de erobrede. Denne teori er bl.a. forsvaret af den litauiske arkæolog Marija Gimbutas. James P. Mallory forsvarer ligeledes et urhjem på de eurasiske stepper, men er mindre ideologisk end Gimbutas. Nye fund underbygger, at udviklingen af den hestetrukne stridsvogn faktisk fandt sted på stepperne nord for Det kaspiske Hav, og meget taler for, at disse folk talte indoeuropæisk. Det var dog næppe urindoeuropæere, men snarere tidlige indoiranere, der i den efterfølgende periode trængte ned i Pakistan (det gamle Indien) og Iran. At det skulle være den samme teknologiske landvinding, der bragte de vestlige indoeuropæere til deres rspektive områder (Robert Drews, The Coming of the Greeks, 1988), er derimod mere omstridt.

Lilleasien

En anden teori, der dog er mere populær blandt arkæologer end blandt sprogvidenskabsfolk, er, at urindoeuropæisk blev talt af folk, der boede på den Anatolske Højslette i det 7. og 6. årtusinde f.Kr. Her lærte de kunsten at drive agerbrug, som førte til en relativ fredsommelig udvidelse af deres sprog og kultur mod øst, vest og nord. Syd for dem boede der allerede andre agerbrugende, hovedsagelig semitiske, folk. Denne teori blev lanceret af Colin Renfrew. Thomas Gamkrelidze og Vjačeslav Ivanov (Indo-European and the Indo-Europeans, 1995) forsvarer et urhjem i Armenien ud fra sprogvidenskabelige argumenter, især det urindoeuropæiske sprogs typologi, men deres rekonstruktioner er omstridt. Renfrews vigtigste argument er, at et sprogskifte kræver en voldsom kulturel begivenhed, og fra istidens ophør til nutiden har der ikke været nogen større begivenhed end den neolitiske revolution. Det er derfor kun naturligt, at landbrugerne, der hurtigt blev betydeligt talrigere end jægerne, hvor end de slog sig ned, også kom til at sætte den sproglige dagsorden. En vigtig anke imod Renfrews teori er, at de de sprog, der blev talt øst og vest for det hypotetiske urhjem, ligner hinanden mere end de sprog, der blev talt i centrum. Græsk og indisk er meget mere tættere på hinanden, end de er på hittitisk, der efter mange forskeres mening er spaltet tidligere ud fra ursproget end de andre indoeuropæiske sprog. Hvis man antager et fælles urhjem i Lilleasien, må man med andre ord acceptere, at indoiranerne ikke er vandret direkte østover, men har taget turen venstre om Sortehavet.

Syntese

Det er at forene sortehavshypotesen med den lilleasiatiske hypotese, hvis man antager, at de folk, der udbredte landbruget, talte en form for indoeuropæisk, men at der senere var en sproglig påvirkning østfra fra de indoeuropæisktalende agerdyrkere, der havde bosat sig nord for Sortehavet og Det kaspiske Hav, og som der havde domesticeret hesten (jf. Robert Drews, Journal of Indo-European Studies 25 (1997) 153-177, og Margalit Finkelberg, The Classical World 91 (1997) 3-20). Den østfrakommende indoeuropæisering var derfor ikke så meget en invasion, selv om der nok har været et vist flow af personer fra øst mod vest. Men der er nok så meget tale om en sproglig konvergens mellem de "gamle" indoeuropæere og de "nye" indoeuropæere.

Sproggrupper i indoeuropæisk

Uddøde sprog og sproggrupper er markeret med †
- †anatolske sprog
- †palaisk sprog: palaisk (nordlige Tyrkiet, 16.-14. årh. f. Kr.)
- †hittitisk sprog: hittisk (centrale Tyrkiet, 17.-13. årh. f. Kr.)
- †luviske sprog: luvisk (sydlige Tyrkiet, 15.-8. årh. f. Kr.), †karisk (sydvestlige Tyrkiet og Ægypten, 7.-4. årh.), †lykisk (sydvestlige Tyrkiet, 5.-4. årh. f. Kr.)
- †lydisk (vestlige Tyrkiet, 8.-4. årh. f. Kr.)
- †tokhariske sprog: to dialekter (Xinjiang, 6.-8. årh. e. Kr.)
- indoiranske sprog
- indiske sprog (indoariske sprog): †vedisk (Vedaens hellige sprog), sanskrit (det klassiske skriftsprog), pāli (den sydlige buddhismes skriftsprog), hindī, urdu, bengalī, marāṭhī, gujarāṭī, romani (romas sprog). Utallige andre dialekter.
- nuristanisprog eller kafirsprog (i Afghanistan). Betragtes af nogle som iranske dialekter, af andre som en selvstændig gren af indoiransk.
- iranske sprog
- østiranske sprog: persisk eller farsi, kurdisk
- vestiranske sprog: †avestisk (Avestaens hellige sprog), pašto (i Afghanistan), †sogdisk (på Silkevejen), †skythisk, †sarmatisk, ossetisk (i Kaukasus)
- armensk sprog
- græsk sprog: †mykensk (Linear B, 14.-12. årh. f. Kr.), †klassisk græsk (adskillige dialekter), †koiné, nygræsk
- †makedonisk sprog (kun kendt gennem ord og navne hos klassisk græske forfattere). Betragtes af nogle forskere som en græsk dialekt, af andre som et selvstændigt, men beslægtet sprog.
- †frygisk sprog: †frygisk (centrale Tyrkiet, 8. årh. f. Kr. - 3. årh. e. Kr.)
- albansk sprog: to dialekter
- †illyrisk sprog (Kroatien, kun kendt gennem ord og navne hos klassisk græske forfattere).
- †messapisk sprog (sydøstlige Italien, 5.-1. årh. f. Kr.).
- †thrakisk sprog (Bulgarien, to indskrifter og ord og navne hos klassisk græske forfattere).
- italiske sprog
- †sabelliske sprog (tidligere oskisk-umbriske sprog): †oskisk, †umbrisk. Visse forskere mener, at sabellisk og latin ikke tilhører én gruppe, men er selvstændige indoeuropæiske grene.
- latinske sprog: latin
- østromanske sprog: rumænsk, †dalmatinsk (Kroatien), sardisk, italiensk
- vestromanske sprog: rætoromansk, fransk, provencalsk, katalansk, spansk (kastillansk), portugisisk
- †venetisk sprog (nordøstlige Italien, 6.-2. årh. f. Kr.). Nogle forskere mener ikke, sproget hører til den italiske gruppe.
- keltiske sprog
- †fastlandskeltiske sprog: †gallisk (Frankrig, 3. årh. f. Kr. - 3. årh. e. Kr.), †lepontisk (Italien, 7.-5. årh. f. Kr.), †keltiberisk (Spanien, 2.-1. årh. f. Kr.)
- økeltiske sprog
- britanniske sprog: bretonsk, †kornisk (Cornwall, indtil 1777), kymrisk (Wales)
- gæliske sprog: irsk, skotsk, manx (Man)
- †lusitanisk sprog (Spanien/Portugal, 2. årh. e. Kr.)
- baltoslaviske sprog
- baltiske sprog
- †vestbaltiske sprog: †oldpreussisk (Østpreussen, 15.-17. årh. e. Kr.)
- østbaltiske sprog: litauisk, lettisk
- slaviske sprog
- østslaviske sprog: russisk, ukrainsk, hviderussisk
- vestslaviske sprog: polsk, †polabisk, †kašubisk, sorbisk, tjekkisk, slovakisk
- sydslaviske sprog: †oldkirkeslavisk, makedonisk, bulgarsk, kroatisk, serbisk, slovensk
- germanske sprog
- †østgermanske sprog: †gotisk (Italien, 4.-6. årh. e. Kr.), †krimgotisk (Krim, 16. årh. e. Kr.)
- vestgermanske sprog: højtysk, nedertysk (plattysk), nederlandsk, frisisk, engelsk
- nordgermanske sprog: islandsk (herunder †oldnordisk), færøsk, norsk, svensk, dansk

Litteratur

Danske titler

- Niels Åge Nielsen, Sprogets opståen og udvikling. Munksgård: København 1968.
- Louis Hjelmslev, Sproget. En introduktion. Berlingske Forlag 1963. En fornuftig og afvejet gennemgang af sprogvidenskabens forskellige discipliner, skrevet af en af strukturalismens fædre.
- Holger Pedersen, Sprogvidenskaben i det nittende århundrede. Metoder og resultater, Gyldendal: København 1924. Genoptrykt i bindet Videnskaben om sproget. Historisk sprogvidenskab i det 19. århundrede. Arkona: Århus 1978. En internationalt rost og stadig læsværdig gennemgang af den indoeuropæiske sprogvidenskabs første periode, skrevet af en af videnskabens berømte udøvere.

Fremmedsprogede titler

- Robert S. P. Beekes, Comparative Indo-European Linguistics. An Introduction. John Benjamins: Amsterdam, Philadelphia 1995.
- J. P. Mallory, In Search of the Indo-Europeans. Language, Archaeology and Myth. Thames & Hudson: London: 1989.
- James P. Mallory & Douglas Q. Adams. Encyclopedia of Indo-European Culture. Fitzroy Dearborn: London 1997.
- Michael Meier-Brügger, Indogermanische Sprachwissenschaft. Walter de Gruyter: Berlin, New York 2000. Engelsk oversættelse Indo-European Linguistics. Walter de Gruyter: Berlin, New York 2003.
- Colin Renfrew, Archaeology and Language: The Puzzle of Indo-European Origins. Cape: London 1988.
- Oswald Szemerényi, Einführung in die vergleichende Sprachwissenschaft. Wissenschaftliche Buchgesellschaft: Darmstadt, 3. udg. 1989. Engelsk oversættelse Introduction to Indo-European Linguistics. Oxford 1999. Kategori:Indoeuropæiske sprog ja:インド・ヨーロッパ語族 ko:인도유럽어족 th:ภาษากลุ่มอินโด-ยูโรเปียน

3 (tal)



Kardinaltal	3 tre
Ordinaltal	tredje
Talsystem	tertiære
Faktorer	primtal
Divisorer	1,3
Romertal	III
præfikser	tri- (fra græsk) ter- (fra latin)
Binær værdi	11
Oktal værdi	3
Duodecimal værdi	3
Hexadecimal værdi	3

3 (tre) er:
- Det naturlige tal efter 2, derefter følger 4
- Et heltal
- Et primtal, specielt et fermatprimtal (2¹+1) og et mersenneprimtal (2²-1)
- Det fjerde af fibonaccis tal
- Det andet trekanttal Det danske ord "tre" deler etymologi med de andre indoeuropæiske sprogs ord for det samme og lader ikke til at have nogen bagvedliggende betydning. Der var oprindeligt tre køn i danske ord: hankøn (maskulinum), hunkøn (femininum) og intetkøn (neutrum), og navneordene kunne bøjes i tre tal: ental (singularis), total (dualis) og flertal (pluralis). Total-bøjningen brugtes om ting, der optræder i naturlige par: øjne, ben, okseforspand, sakseblade... I juli 2005 anlagde MTG, der ejer TV3 og TV3⁺, sag an mod teleselskabet 3 for misbrug af varemærket "3". MTG kræver eneret på tallet 3. En lignende sag er tidligere blevet afvist af tingsrätten i Stockholm. Der er
- 3 i en trio.

I matematik

Andet

- Tallet tre er et magisk antal, der går igen i mange eventyr f.eks som:
- De tre små grise
- Tre ønsker
- Tre år
- Tre sønner/døtre
- Tre undere
- Tre tallerkener, senge...(fra Guldlok) osv...
- Tre primær- eller grundfarver: i additiv farveblanding det rød, grøn og blå (RGB), og i subtraktiv farveblanding er der rød, gul og blå
- Tre livsaldre: barn- og ungdom, manddom og alderdom (i mytologien)
- Tre Norner i nordisk mytologi
- Tre Gratier i græsk mytologi
- Tre elementer i treenigheden: Gud, Sønnen og Helligånden
- Tre verdener: under-, mellem og oververdenen
- Tre aspekter af gudinden: Jomfruen, Moderen og Kællingen Kategori:Artikler om bestemte tal ja:3 ko:3 simple:Three th:3

Cykel

En cykel er almindeligvis et pedaldrevet køretøj, hvor en let ramme forbinder to eger-opspundne hjul. Der findes dog mange cykeltyper, som ikke holder sig inden for denne beskrivelse - f.eks. handicapcykler der drives af armkræfter, vandcykler uden hjul og ladcykler med tre hjul. Den der bidrager til en cykels fremdrift kaldes for en cyklist. Selve ordet "cykel" er en forkortet udgave af bicykel, der i 1868 er hentet fra det engelske ord "bicycle", der betyder to-hjul. (Oprindeligt græsk: Cyklus = ring/kreds). Det er omstridt, hvem der opfandt cyklen, men der er enighed om, at Karl von Drais' sparkecykel fra 1817, udgør et afgørende gennembrud. Denne grundmodel, hvor rytteren sad overskrævs, og sparkede sig frem ved at sætte fødderne på jorden, er siden blevet videreudviklet med bl.a. pedaler, kædetræk, luftringe, friløb og gear. Siden ca. 1890 har cykeltrafikken haft enorm betydning for bevægelsesfriheden for den brede befolkning. Frem til slutningen af 1950'erne udgjorde cyklen sammen med den offentlige transport den vigtigste del af almindelige menneskers mulighed for at komme omkring. I dag er cyklen især vigtig i de største byer, og i København udgør cykeltrafikken f.eks. 30% af den samlede trafik i centrum.

Historisk udvikling

København København Cyklen, som vi kender den i dag, blev ikke opfundet af en person på en bestemt dag. Der var derimod tale om en udvikling, hvor pedaler, kædetræk, diamant-rammen, lufthjul og gear gradvist blev føjet til sparkecyklen, som var den første konstruktion, der tilnærmelsesvis lignede nutidens cykler. Det er heller ikke helt sikkert, hvem der opfandt sparkecyklen. Der findes angiveligt tegninger af Leonardo da Vinci-eleven Giacomo Caprotti, som forestiller en cykel, men det er omstridt, hvorvidt der er tale om en forfalskning, ligesom det er omstridt, om konstruktionen reelt kunne fungere som en cykel. Andre kilder angiver franskmanden de Sivac som den første - i 1791 - til at opfinde en sparkecykel, men historien er omstridt. Langt mere pålidelige er beretninger om tyskeren Karl von Drais, der i 1817 opfandt det, der blev døbt "draisinen" og senere "velocipiden". Her var tale om en to-hjulet sparkecykel, hvor rytteren sad overskrævs og sparkede sig frem ved at sætte benene på jorden. Denne cykeltype blev angiveligt produceret i flere tusinde eksemplarer. Den første cykel med pedaler blev konstrueret af skotten Kirkpatrick MacMillan i 1839. Pedalerne trak via stænger baghjulet, og cyklen havde derfor ingen kæde. Denne type blev plagieret af mange, men slog ikke bredt igennem. Omkring 1860 satte en franskmand pedaler direkte på forhjulet. For at gøre det muligt at køre hurtigere, blev forhjulet gjort større, og dermed blev den karakteristiske væltepeter-cykel udviklet. Denne cykeltype blev vidt udbredt. Cyklen med kædetræk til baghjulet blev opfundet i 1879, men blev først udviklet i en populær udgave i 1885. Denne type var langt lettere at komme af og på end væltepeteren, og den blev derfor kendt som "safety-cyklen". Ved at benytte forskellige størrelser af tandhjul var det stadigt muligt at holde en høj hastighed. Det er grundkonstruktionen i denne cykeltype, der stort set svarer til nutidens cykler. Selv om Danmark længe har været en nation med mange cyklister, er mængden af særlige danske cykelopfindelser releativt lav. De fire mest iøjenfaldende undtagelser er Dursley-Pedersen cyklen, Mollers autocykel, Longjohn ladcyklen og Leitra-kabinecyklen.

Cykeltyper

Der findes en meget stor variation af cykeltyper. Nogle typer er tilpasset helt bestemte formål, mens andre er variationer over den samme grundcykel. For hverdagscyklernes vedkommende ses ofte, at en let variation i en cykeltype markedsføres under et andet navn. En række cykeltyper findes som henholdsvis herre- og damecykler. Damecyklen adskiller sig fra det klassiske diamantramme-princip ved ikke at have en overstang eller ved at have en meget lav overstang. Det gør det nemmere at stige af og på cyklen, samt at køre med fx. nederdel/kjole. Hverdagscykler
- Clubcyklen, sportscyklen eller citybiken er nogle af de utallige (navne)variationer over den samme hverdagscykel, som benyttes af langt de fleste danskere. I perioder har mange hverdagscykler "lånt" elementer fra racercyklen. I andre perioder har mountainbiken haft indflydelse. Hverdagscyklen har oftest 27" hjul, et ret lige - eller tilbagetrukket styr. Cyklen er tillige udstyret med hverdags-udstyr som bagagebærer, skærme og lås. Gear-variationerne dækker hele spektret med både 3, 5 eller 7 indvendige gear eller 18-27 udvendige gear.
- Skovcyklen er en enkelt konstrueret cykel med eet fast gear og meget lidt udstyr.
- Bedstemor/bedstefarcyklen er en tung cykel med solidt stel, brede skærme og evt. frakkeskåner. Ofte sort stelfarve.
- Hollændercyklen har et solidt stel, lukket kædekasse og ofte indvendigt gear. Sportscykler
- Racercyklen er optimeret til høj hastighed: Stellet og alt udstyr er lavet så let som muligt, dækkene er smalle for at mindske rullemodstanden og styret svunget ned, så rytteren sidder i en foroverbøjet stilling, der giver lav vindmodstand. Cyklen har tætliggende gear, så det er nemt at finde et optimalt tråd. Der er intet ekstra-udstyr (som skærme, etc) på cyklen.
- Banecyklen er en racercykel uden bremser og gear, beregnet til kørsel på bane.
- Triathloncyklen er en variant af racercykel, bl.a. med bøjle til armene. 1885
- Mountainbike-cyklen (MTB) blev oprindeligt opfundet i USA, hvor den blev brugt til ekstrem-nedkørsel i bakket terræn. Cyklen blev populær i 1980'erne både som livsstilscykel og hos sportsfolk, der benyttede den til konkurrencer i uvejsomt terræn. Denne cykeltype er med sine brede dæk, solide stel, lave gear og gode affjedring også blevet populær hos nogle langturscyklister samt til en del hverdagsbrug.
- BMX-cyklen er en cykel med et meget lille stel og relativt små hjul, der ofte benyttes til tricks og til at køre løb på jord-baner med indbyggede hop, mm.
- Motionscyklen er en stationær cykel beregnet til træning.